Matematiksel Epidemi Modelleri

Covid-19 salgını, yayılması ve ölüm oranının yüksek oluşu nedeniyle dünya genelinde yerel bir salgın yerine uluslararası pandemi olarak ilan edilmişti. Salgının ilerleyişi, yayılması ve olası yayılma potansiyeli ise matematiksel olarak geliştirilen ve günümüzde hesapsal (computational) olarak çözülebilen diferansiyel denklemlerle modellenmektedir. Bu yazıda da, matematiksel ayrıntılara girmeden bu modellerden bazıları anlatılacaktır. İlgili okuyucu için yazının sonuna kaynaklar eklenmiştir.

Epidemi modellerini üç grupta toplayabiliriz: i) statik epidemik modeller, ii) dinamik epidemik modeller ve iii) fikir (opinion) dinamik modeller.

Epidemi modelleri, genel olarak bir ağ üzerinde, düğümler (node) arasında hastalığın yayılmasını çeşitli parametreleri (yayılma hızı, ağdaki düğümler (insanlar) arasındaki temas oranı vb.) hesaba katarak modelleme fikrine dayanır

1.Statik Epidemi Modelleri

1.1.SI (Susceptible-Infected) Modeli

SI, genel bir yayılma iterasyonu sırasında, S bir düğümün I olmuş bir düğümle temas etmesi durumunda, βolasılıkla I olduğunu varsayar: bir düğüm bir kez I olduğunda, I olarak kalır. Model, ilk olarak 1927’de Kermack tarafından tanıtılmıştır[1].

1.2.SIR (Susceptible-Infected-Recovered) Modeli

SIR modelinde, bir salgın sırasında, bir düğümün durumunu Riske açık (S) ‘dan Enfekte (I)’ ye, sonra İyileşmiş (R) ‘e değiştirmesine izin verilir. SIR, genel bir yayılma iterasyonu sırasında, S bir düğümün I olmuş bir düğümle temas etmesi durumunda, β olasılıkla ile I olduğunu varsayar, γ olasılıkla R olur (izin verilen tek geçiş S → I → R şeklindedir). SIR modeli de ilk olarak Kermack tarafından tanıtılmıştır [1].

1.3.SIS (Susceptible-Infected-Susceptible) Modeli

Model, genel bir yayılma iterasyonu sırasında, riske açık bir düğümün enfekte olmuş bir düğümle temas etmesi durumunda, β olasılıkla enfekte olduğunu varsayar, λ olasılıkla da riske açık hale getirilebileceğini varsayar (izin verilen tek geçiş S → I → S şeklindedir). SIS modeli de, SIR modeli gibi SI modelinin bir varyantı olarak Kermack tarafından ilk kez 1927’de tanıtılmıştır [1].

Şekil 2 SIS Modeli Gösterimi

 

1.4.SEIS (Susceptible-Exposed-Infected-Susceptible) Modeli

Önceki modellerde olduğu gibi SEIS modeli de, SI modelinin bir varyasyonudur. Birçok enfeksiyon için, bireyin enfekte olduğu ancak hastalığın henüz bulaşıcı olmadığı önemli bir kuluçka dönemi vardır. Bu süre zarfında, birey maruz kalan durumdadır (E). SEIS, genel bir yayılma iterasyonu sırasında, S bir düğümün I olmuş bir düğümle temas etmesi durumunda, β olasılıkla E olmaya başladığını, daha sonra ε olasılıkla I olabileceğini ve daha sonra da λ olasılıkla S hale gelebileceğini varsayar (sadece S → E → I → S geçişine izin verilir).

1.5. SEIR (Susceptible-Exposed-Infected-Recovered) Modeli

SEIS modelleri gibi SEIR modeli de, maruz kalma durumunu (E) dikkate alarak kuluçka dönemini hesaba katar. SEIR, genel bir yayılma iterasyonu sırasında, S bir düğümün I olmuş bir düğümle temas etmesi durumunda, β olasılık ile E olmuşsa, ε olasılık ile I olabileceğini ve sonra da γ olasılıkla R olabileceğini varsayar (izin verilen geçişler sadece S → E → I → R şeklindedir).

Şekil 3 SEIR Modeli Gösterimi

1.6.SWIR (Susceptible-Weakened-Infected-Recovered) Modeli

Bu modelin dört durumu vardır: Riske açık (S), Enfekte olmuş (I), İyileşmiş (R) ve Zayıflatılmış (W). Olağan S → I → R geçişinin yanı sıra, bu modelde S → W → I → R geçişine sahibiz. Zaman damgası n‘de, I durumunda bir düğüm seçilir ve tüm komşu düğümlerin durumu tek tek kontrol edilir. Bir komşunun durumu S ise, o zaman bu durum ya i) κ olasılıkla I olarak değişir veya ii) µ olabilirlikle(likelihood) W olarak değişir. Bir komşunun durumu W ise, ν olasılık ile durumu I olarak değişir. Böylece I sürecindeki tüm düğümler için işlemi tekrarlarız ve tüm bu düğümlerin durumu R olur.

1.7.Diğer Statik Modeller

Burada ayrıntısına girmeyeceğimiz diğer statik modeller için, kaynaklara bakılabilir. Eşik modeli (threshold) [2], Kertesz eşik modeli (kertesz threshold) [3], bağımsız basamaklar (independent cascades) [4], düğüm profil modeli (node profile) [5] ve düğüm profil-eşik modeli (node profile-threshold) de statik modeller arasında sayılabilir.

Bu modellerler ilgili [6], [7] ve [8] deki kaynaklara da ek olarak göz atılabilir.

2.Dinamik Epidemi Modelleri

2.1.Dinamik SI Modeli

Bu model, SI modelinin klasik formülasyonunu (geçişin S → I olduğu yerde), her iterasyon sırasında ağ yapısının güncellendiği anlık durum (snapshot) tabanlı topoloji evrimine uyarlar. Ti gününde uygulanan model daha sonra enfekte başlangıcı olarak bir önceki günün etkileşim grafiğinde gerçekleştirilen yinelemenin sonucunu ve mevcut sosyal yapıyı kullanır. Bu seçim, yalnızca ardışık anlık durum etkileşimlerinin değişebileceğini değil, aynı zamanda düğüm kümelerinin de değişebileceğini gösterir.

2.2.Dinamik SIS Modeli

Önceki dinamik model gibi Dinamik SIS Modeli de, SIS modelinin klasik formülasyonunu (geçişin S → I → S olduğu) her bir yineleme sırasında ağ yapısının güncellendiği anlık durum tabanlı topoloji evrimine uyarlar. Dinamik SIS uygulaması, sürecin yönlendirilmiş / yönlendirilmemiş bir dinamik ağ üzerinde gerçekleştiğini varsayar.

2.3.Dinamik SIR Modeli

Önceki model gibi Dinamik SIR Modeli de, SIR modelinin klasik formülasyonunu (geçişin S → I → R olduğu) her bir yineleme sırasında ağ yapısının güncellendiği anlık durum tabanlı topoloji evrimine uyarlar. Dinamik SIR uygulaması da, sürecin yönlendirilmiş / yönlendirilmemiş bir dinamik ağ üzerinde gerçekleştiğini varsayar.

3.Fikir Dinamik Modelleri (Opinion Dynamic Models)

Oylayıcı (voter) [9] modeli, Snajd modeli [10], Q-oylayıcı (Q-voter) modeli [11], çoğunluk kuralı (majority rule) [12] ve bilişsel fikir dinamik modeli (cognitive opinion Dynamics) [13] fikir dinamik modelleri arasında sayılabilir. Bu modellerin ayrıntıları için de belirtilen kaynaklara göz atılabilir.

Bonus-1: Türkiye İçin SIR Modeli Uygulaması*

Burada Türkiye için günlük olarak yayınlanan vaka istatistiklerine ve literatürdeki standart model parametrelerine dayanarak SIR vaka yayılım modeli uygulanmıştır. Matematiksel epidemi modellerinde temel bir parametre temel üreme katsayısıdır. Temel üreme sayısı (R₀ ile gösterilir), bir hastalığın ne kadar transfer edilebilir olduğunun bir ölçüsüdür. Tek bir bulaşıcı kişinin enfeksiyon boyunca enfekte edebileceği ortalama insan sayısıdır. Bu miktar, enfeksiyonun katlanarak yayılıp yayılmayacağını, ölüp ölmeyeceğini veya sabit kalacağını belirler: R₀> 1 ise, ortalama olarak her kişi birden fazla kişiye bulaşır, böylece hastalık yayılır; R₀ <1 ise, her kişi ortalama bir kişiden daha azını enfekte eder, böylece salgın azalır; ve R₀ = 1 ise, her kişi tam olarak bir kişiye daha bulaştırır, bu nedenle hastalık endemik hale gelir: popülasyon boyunca hareket eder, ancak artmaz veya azalmaz.

Şekil 4 SIR Modeli Türkiye Uygulaması

R₀ katsayısı için [7] ve [14]’e bakılabilir. Burada R₀ katsayı, güncel literatürü de takip ederek 3 olarak alınmıştır**. Model çözüldüğünde salgının Türkiye’deki seyrinin (diğer parametreler üzerinde bir kısıt olmadığı varsayımıyla) Şekil-4’deki gibi olabileceği gözlemlenmiştir***.

Şekil-4’ten görülebileceği gibi, S bireylerin sayısı, I ve R bireylerin sayısı arttıkça artmaktadır. R bireyler (iyileşmiş ve ölmüş bireyleri kapsamaktadır) ilk olarak hızlı bir şekilde artmakta, sonrasında yavaşlayarak artmakta ve bir süre sonra sabit olmaktadır. I bireylerin sayısı da tepe noktasından sonra azalışa geçmektedir.

Bonus 2: Epidemi Modelleri İçin Bazı Araçlar

Epideminin matematiksel olarak modellenmesinde yukarıda bahsedilmişti. Burada, modellerin çözümü için kullanılabilecek bazı yazılım çerçevelerine atıf yapılacaktır:

• seirsplus: Bu paket, genel SEIRS bulaşıcı hastalık dinamiği modellerini, popülasyon yapısı, sosyal uzaklaşma, test, temas takibi ve tespit edilen vakaları karantinaya alma gibi faktörlerin etkisini modelleyen uzantılara sahiptir.
• epydemic, ağlar üzerinde salgın (ve diğer) süreçlerin simülasyonlarını uygulayan bir Python kütüphanesidir. Salgın süreçler hem ağ biliminde hem de uygulamalarında çok önemlidir. En yaygın uygulama, hastalıkların bulaşıcılıklarına ve diğer özelliklerine bağlı olarak farklı ağ koşullarında ilerleme yollarını incelemektir.
• NDlib, karmaşık ağlardaki difüzyon süreçlerini tanımlamaya, benzetime ve incelemeye izin veren bir Python yazılım paketidir.
• EoN (Ağlarda Salgın Hastalıklar) ağlardaki salgınların simülasyonu ve hastalık yayılmasının ODE modellerinin çözümü için bir Python paketidir.
• Küresel salgın ve hareketlilik modeli, GLEAM, potansiyel olarak yıkıcı salgınların etkisini en aza indirgeyen müdahale stratejileri geliştirmede karşılaşılan zorlukları ele almak için analitik ve tahmin gücü sağlamak için popülasyonlar ve insan hareketliliği hakkındaki gerçek dünya verilerini ayrıntılı stokastik hastalık iletimi modelleri ile birleştirir.
• zEpid bir Python 3.5 ve üstü versiyonlar için epidemiyoloji analiz aracıdır. Bu kütüphanenin amacı Python’da epidemiyoloji analizini e’den z’ye yapmaktır. Çeşitli hesaplamalar, tahminciler ve grafikleri içermektedir.
• Epyc, temel fonksiyonları C++ ile yazılmış bir Python projesidir. Epidemi modellerinin ağ üzerinde simüle etmeyi amaçlamaktadır.
• Mesa-SIR, Python temelli, yine bir Python kütüphanesi olan ajan-bazlı model kütüphanesi Mesa ile oluşturulmuş, SIR modelinin ajan-bazlı simülasyonunu yapmak amacıyla yazılmış bir kütüphanedir.
• Covidsimulation, Cython ve Sympy ile yazılmış, birey temelli dinamik simülasyon projesidir.
• EpiModel, bulaşıcı hastalık dinamiklerinin matematiksel modellerini simüle etmek ve analiz etmek için araçlar sağlayan bir R paketidir.
• R Epidemi Konsorsiyumu (RECON), salgınları modelleyen veri bilimcileri, halk sağlığı ve yazılım geliştirme uzmanlarını bir araya getiren ve hastalık salgınlarına karşı R yazılımını ve diğer ücretsiz ve açık kaynak yazılımları kullanarak yeni nesil analitik araçları geliştirmek için uluslararası, kar amacı gütmeyen bir sivil toplum kuruluşudur.

Notlar

*Uygulama, açıklanan güncel veriler ve formel model ile yapılmış olup uygulama ile ilgili sorumluluk yazara aittir (M.Ö.).

**Farklı parametrelerle farklı sonuçlar elde etmek mümkündür.

***Basit SIR modeli dışında da daha karmaşık modeller çözülerek daha gerçekçi sonuçlara ulaşmak ve senaryolar üretmek mümkündür.

Kaynaklar

[1] Kermack, W.O., McKendrick, A. (1927): A Contribution to the Mathematical Theory of Epidemics. Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character 115(772), 700–721

[2] Granovetter, M. (1978). Threshold models of collective behavior. The American Journal of Sociology 83(6), 1420–1443

[3] Ruan, Z., I˜niguez, G., Karsai, M., Kert´esz, J. (2015). Kinetics of social contagion. Phys. Rev. Lett. 115, 218,702. DOI 10.1103/PhysRevLett.115.218702

[4] Kempe, D., Kleinberg, J., Tardos, E. (2003), Maximizing the spread of influence through a social network. In: Proceedings of the Ninth ACM SIGKDD International Conference on Knowledge Discovery and Data Mining, KDD’03, pp. 137–146

[5] Milli, L., Rossetti, G., Pedreschi, D., Giannotti, F. (2017). Information diffusion in complex networks: The active/passive conundrum. In: Complex Networks

[6] Kılıç, Ü., (2020). COVID-19 ve epidemik modelleri. https://sarkac.org/2020/03/covid-19-ve-epidemik-modelleri/

[7] Mathematical modelling of infectious disease, https://www.wikiwand.com/en/Mathematical_modelling_of_infectious_disease

[8] Compartmental models in epidemiology, https://www.wikiwand.com/en/Compartmental_models_in_epidemiology

[9] Clifford, P., Sudbury, A. (1973). A model for spatial conflict. Biometrika 60(3), 581–588. DOI 10.1093/biomet/60.3.581

[10] Sznajd-Weron, K., Sznajd, J. (2001). Opinion evolution in closed community. International Journal of Modern Physics C 11, 1157–1165

[11] Castellano, C., Munoz, M.A., Pastor-Satorras, R. (2009). The non-linear q-voter model. Physical Review E 80, 041,129

[12] Galam, S. (2002): Minority opinion spreading in random geometry. Eur. Phys. J. B 25(4), 403–406

[13] Vilone, D., Giardini, F., Paolucci, M., Conte, R. (2016): Reducing individuals’ risk sensitiveness can promote positive and non-alarmist views about catastrophic events in an agent-based simulation. arXiv preprint arXiv:1609.04566

[14] Turan C, Hacımustafaoğlu M. (2020). Enfeksiyon hastalıklarında R0 oranı ve klinik anlamı nedir? J Pediatr Inf;14(1):55-56.

 

Yazar:  Murat Öztürkmen